تا حالا به معنی کلمه بی نهایت فکر کرده اید؟ و اینکه این کلمه در ریاضی به چه مفهومی اشاره دارد؟ این دفعه تصمیم گرفتیم برای شما مطلبی پیرامون این واژه قرار بدهم.
به معنی"محدود" گرفته شده ( علامت ∞ ) چیزی است "finitus" بی نهایت از واژه لاتین که "محدود" نیست٬ که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.
نگرش باستانی در مورد بی نهایت
نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است:
"تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که می توان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد٬ بی نهایت است. بنابراین بی نهایت٬ امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد همیشه از هر عدد معینی بیشتر است."
به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود٬ به هرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند که عبارتند از:
1- یکی
اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آن ها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است٬ اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند.
2- دیگر
اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی٬ اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم.
دومین نگرش را به صورت واضحتر m (m > n ٬ یک عدد صحیح n مثلا "برای هر عدد صحیح میتوان یافت: William of Ockham در آثار نویسندگان قرون وسطایی مثل (هر زنجیره حقیقتا وجود دارد. بنابراین هر یک از اجزاء آن واقعا در طبیعت وجود دارد. اما اجزاء زنجیره نامحدود هستند چون هیچ عدد بزرگی نیست که عددی بزرگتر از آن نباشد٬ پس اجزاء نامحدود واقعا وجود دارند).
اجزاء از بعضی جهات واقعا وجود دارند. به هرحال٬ در این نگرش٬ هیچ بزرگی بی نهایتی نمی تواند یک عدد داشته باشد٬ چون هر عددی را که تصور کنیم٬ همیشه عددی بزرگتر از آن وجود دارد:
همچنین بر ضد این نظریه (Aquinas ) . "هیچ بزرگی (از لحاظ عددی ) نیست که بزرگتر از آن نباشد که بینهایت می تواند از هر جهت کامل یا کلی باشد بحث کرده است.
نگرش های نوین آغازین
بعد از محکومیتش توسط استنطاق Sienna گالیله در زمان بازداشت طولانی در خانه اش در مذهبی اولین کسی بود که متوجه شد می توان مجموعه ایی از بی نهایت عدد را به صورت تناظر یک به یک با یکی از زیر مجموعه های حقیقی آن در کنار هم قرارداد.
با این استدلال مشخص می شود٬ اگرچه طبیعتا یک مجموعه که بخشی از مجموعه دیگر بوده٬ کوچکتر است(چون تمام اعضاء آن مجموعه را شامل نمی شود) از بعضی جهات هم اندازه اند. او معتقد بود این یکی از مشکلاتی است که وقتی ما میخواهیم "با ذهن محدود خود" یک امر نامحدود را درک کنیم٬ پیش می آید.
درک ریاضی مدرن از بینهایت در اواخر قرن نوزدهم توسط کارهای و دیگران با استفاده از ایده مجموعه ها٬ توسعه یافت. Richard Dedekind , Gottlob Frege تناظر یک به یک به عنوان یک استاندارد برای مقایسه سایز برخورد آن ها در اصل به قبول ایده مجموعه ها بود٬ و رد کردن نظر گالیله (که از اقلیدس ناشی شده بود) مبنی بر اینکه کل نمیتواند هم اندازه جزء باشد. یک مجموعه نامحدود را می توان به صورت ساده طوری تعریف نمود که هم اندازه حداقل یکی از اجزاء "مناسب" آن باشد.
دینسان کانتور نشان داد که مجموعه های بینهایت می توانند اندازه های متفاوت داشته باشند٬ با تمایز بین مجموعه های بینهایت قابل شمارش و بینهایت غیر قابل شمارش٬ و یک فرضیه اعداد کاردینال را حول این مطلب توسعه داد. نظر او غالب گردید و ریاضیات مدرن عملا بینهایت را پذیرفت. سیستم های اعداد توسعه یافته مشخصی٬ مانند اعداد حقیقی٬ اعداد معمولی(محدود) و اعداد نامحدود را با سایزهای مختلف٬ متحد می نمایند.
وقتی سر و کارمان با مجموعه های نامحدود می افتد٬ بصیرت کسب شده ما از مجموعه های محدود از کار می افتد. یک مثال برای این پارادوکس گراند هتل هیلبرت است.
یک سؤال فریبکارانه این است که آیا بینهایت عملی در کیهان مادی وجود دارد؟
- آیا تعداد ستاره ها نامحدود است؟
- آیا کیهان دارای حجم نامحدود است؟
- آیا فضا "تا ابد ادامه" دارد؟
این یک سؤال باز مهم در کیهان شناسی است. توجه داشته باشید که سؤال از نامحدود بودن به صورت منطقی٬ غیر از سوال در مورد داشتن مرز می باشد. سطح دو بعدی زمین٬ برای مثال٬ محدود است٬ در حالیکه هیج مرزی ندارد. با راه رفتن / دریانوردی / رانندگی به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم٬ شما درست به همان نقطه ای که شروع کرده بودید ٬ باز می گردید.
کیهان٬ حداقل در مبادی و اصول٬ ممکن است بر اساس یک اصل مشابه عمل نماید؛ اگر شما با فضاپیمای خود به اندازه کافی طولانی در مسیر مستقیم و رو به روی خود پرواز کنید٬ شما اتفاقا و به صورت ناگهانی دوباره از همان نقطه ایی که از آن شروع کرده بودید٬ می گذرید.
مباحث مدرن درباره بینهایت٬ امروزه به صورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مورد توجه قرار یک استثناء بوده Wittgenstein . گرفته است٬ و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند است٬ کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه و ایده بینهایت عملی٬ در "اواسط عمر خود" انجام داد.
بینهایت امروزه به انواع مجموعه های نامحدود زیادی تقسیم شده است٬ یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی٬ alephnull مانند٬ یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمان های موجود در یک دایره یا تعداد نقاط bethone و روی یک خط ٬ و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.
گروه تمام اعداد را با زیرگروه هایش مرتبط می کند؟ خیر. آن هر عدد دلخواهی m = 2n آیا معادله را با دیگری مرتبط می سازد ٬ و بدین ترتیب ما به گروه های زوج نامحدود وارد می شویم٬ که هرکدام به دیگری مرتبط می باشد٬ ولی هرگز به گروه یا زیرگروهی مرتبط نیستند.
هیچیک از این دو٬ یکجوری خودش یا دیگر گونه از یک زوج گروه٬ فرآیند نامحدود نمی باشند ... در یک گروه را به زیر گروه هایش مرتبط می سازد٬ هنوز ما صرفا یک حالت از m = 2n موهومات که دستور زبان دو پهلو را خواهیم داشت.
منبع : سایت تبیان
